连续复利（Continuous Compounding）是复利计算的一种极限形式，指利息以无限小的间隔不断计算并立即加入本金，从而实现利息的“连续再生”。其核心是通过数学上的自然指数函数（$e$e）来描述资金的指数级增长。

关键概念

1. 

   普通复利：
   利息按固定周期（如年、月、日）计算并累加，公式为：

   $$A=P{(1+\frac{r}{n})}^{nt}$$A=P(1+nr)nt

• $P$P：本金

• $r$r：年利率

• $n$n：每年计息次数

• $t$t：时间（年）

2. 连续复利：
   当 $n$n 趋近于无穷大时（即计息间隔无限缩短），公式收敛为：

   $$A=P{e}^{rt}$$A=Pert

• $e$e：自然对数的底（约2.71828）

• 其他变量含义同上。

特点

• 极限情况：连续复利是普通复利在计息频率无限增加时的理论极限。

• 指数增长：资金随时间呈指数增长，曲线由 $e^{rt}$ert 决定。

• 实际应用：尽管现实中无法实现真正的“连续”计息，但高频复利（如每日）可近似连续复利效果。

例子

假设本金 $P=1000$P=1000 元，年利率 $r=5\mathrm{\%}$r=5%，投资 $t=2$t=2 年：

• 连续复利结果：

  $$A=1000\times e^{0.05\times 2}\approx 1000\times 1.1052=1105.17\text{元}$$A=1000×e0.05×2≈1000×1.1052=1105.17元

• 对比年复利：

  $$A=1000\times (1+0.05{)}^2=1102.50\text{元}$$A=1000×(1+0.05)2=1102.50元

应用场景

1. 金融模型：如Black-Scholes期权定价模型、现值计算等。

2. 经济学理论：描述经济增长或衰减的连续过程。

3. 自然科学：放射性衰变、种群增长等连续变化现象。

为什么使用 $e$e？

数学上，$e$e 的定义与连续增长密切相关：

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$$e=n→∞lim(1+n1)n

将利率引入后，自然导出 $e^{rt}$ert 的形式。

总结：连续复利是理论化的复利形式，通过自然指数函数实现资金增长的连续计算，广泛应用于金融和科学领域。